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数学演習２@wiki

演習プリントの解説．（各タイトルからリンクが貼ってあります．）

1. 最大・最小・上界・下界・上限・下限の定義
   
   
2. 閉区間の上界
   とすると、の上界を示せ。
   
   
3. デデキントの切断定理
   以下，「ワイエルシュトラスの公理」を仮定する．をの空でない部分集合とする。, を満たすとき「に最大値が存在するか、またはに最小値が存在する。」を証明せよ。
   
   
4. 上限の性質
   に対して、とするとき、
   であることを示せ。
   
   
5. 性質の逆
   に対して、はの上界であるとするとき、であることを示せ。
   
   
6. アルキメデスの原理
   を示せ。
   
   
7. 数列についての処々の定義。
   収束，最大，最小，上限，下限，有界など
   
   
8. 下限の実例
   を示せ。
   
   
9. 上に有界な単調増加列
   上に有界な単調増加列が収束することを示せ。
   
   
10. 収束する数列の不等号
    収束する数列について、であるならば、であることを示せ。
    
    
11. はさみうちの定理
    収束する数列について、とする。数列がを満たすならば、は収束し、かつであることを示せ。
    
    
12. 有界な無限数列（その１） （その2）
    有界な無限数列は収束する部分列を持つことを示せ。
    
    
13. コーシー列は有界
    数列がコーシー列とすると、は有界であることを示せ。
    
    
14. 収束列はコーシー列
    数列が収束するならば、はコーシー列である。
    
    
15. 実数列のコーシー列は収束する
    実数列がコーシー列であるならば、収束する。
    
    
16. 上極限の実例
    とするとき、を求めよ。
    
    
17. の定義
    ノルムの定義，点列の収束の定義
    
    
18. シュワルツの不等式，三角不等式
    に対して、次の不等式を証明せよ。
    (1) （シュワルツの不等式）
    (2) （三角不等式）
    
    
19. 点列の収束と成分の収束
    とする。
    
    を示せ。
    
    
20. 開円板の定義
    1次元の場合と高次元の場合
    
    
21. 開円板の特徴づけ(1) (2)
    (1) 開円板内の点列であって、以下の３条件を満たすものが存在する。
    (a)
    (b) 極限が存在する。
    (c)
    (2) 開円板の任意の点について、あるが存在して、である。
    
    
22. 開区間は開集合
    , とする。
    (1) 開区間は開集合であることを示せ。
    (2) 閉区間は開集合でないことを示せ。
    
    
23. 開正方形領域は開集合
    正方形領域がの開集合であることを示せ。
    
    
24. 閉区間は閉集合
    , とする。閉区間は閉集合であることを示せ。
    
    
25. 開集合の性質
    , が開集合であるとき、も開集合であることを示せ。
    
    
26. 開区間の無限共通部分
    とすると、であることを示せ。または開集合でないことを示せ。
    
    
27. 内部と開集合（１）
    (1) とする。に対して、であることを示せ。
    (2) が開集合であることを示せ。
    
    
28. 内部と開集合（２）
    とし、をの内部とする。
    (1) であって、が開集合ならばであることを示せ。
    (2) が開集合ならば、を示せ。
    
    
29. 閉包と閉集合（１）
    の閉包をとする。
    (1)
    (2) とするとき、ならば、任意のに対して、
    
    
30. 閉包と閉集合（２）
    の閉包をとする。
    (1) かつが閉集合
    (2) が閉集合
    
    
31. 有理数集合の内部と閉包
    有理数とすると、である。
    
    
32. 開区間の閉包
    開区間の閉包はであることを示せ。
    
    
33. 閉包は閉集合（１）
    に対して、は閉集合である。
    
    
34. 演習３４は上と重複していますので、割愛します。
    
    
35. 有界閉区間上の関数は上界を持つ
    有界閉区間とその上の連続関数に対して、の像は上界を持つことを示せ。
    
    
36. 有界閉区間上の関数は最大値を持つ
    有界閉区間とその上の連続写像に対して、の像が最大値を持つことを示せ。ただしが上界を持つことは用いてよい．
    
    
37. 開区間はコンパクトでない
    を開区間とするとき、はコンパクトでないことを示せ。
    
    
38. 実数の部分集合がコンパクトならば有界
    がコンパクトならば、は有界であることを示せ。
    
    
39. 実数の部分集合がコンパクトならば閉集合
    がコンパクトならば、は閉集合であることを示せ。
    
    
40. 有界閉区間はコンパクト（その１）,（その２）
    が有界閉区間ならば、はコンパクトであることを示せ。