http://www37.atwiki.jp/mathex2/ 数学演習２@ウィキ ja 2011-12-13T10:22:07+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/1.html *数学演習２@wiki ---- 明治大学理工学部数学科1年次設置科目「数学演習２」の解説wikiです． （昨日&counter(yesterday)，今日&counter(today)） 期末試験終わりました．お疲れ様でした．　[[問題>http://www37.atwiki.jp/mathex2?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=2010_se2_FT.pdf]] ---- [[演習プリントはここ>http://www37.atwiki.jp/mathex2?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=2010_se2.pdf]] [[数学演習2コミュニティ>http://sns.math.meiji.ac.jp/?m=pc&a=page_c_home&target_c_commu_id=79]]（書き込むには明治大学数学科SNSのアカウントが必要です．） ---- 2011年度予定 第1回演習　 9/28 3番 第2回演習　10/05 6番 第3回演習　10/12 9番 第4回演習　10/19 12番 第5回演習　10/26 13番 第6回演習　11/02 19番 第7回演習　11/09 23番 第8回演習　11/16 25番 第9回演習　11/30 27・28番 第10回演習　12/7 29・30番 第11回演習　12/14 36番 第12回演習　 12/21 38番 第13回演習　 1/11 39番 プレテスト　1/18 ---- [[意見・質問を書く]] ---- *演習プリントの解説．（各タイトルからリンクが貼ってあります．） +[[最大・最小・上界・下界・上限・下限の定義>http://www.youtube.com/watch?v=v2-fc2Q5Oto&fmt=22]]&br()&br() +[[閉区間の上界>http://www.youtube.com/watch?v=d60NcEPT8yA&fmt=22]]&br() $$X=[0,1]=\{x\in\mathbb{R}\mid 0 \le x \le 1\}$$とすると、$$\{X$$の上界$$\}=\{a| 1\le a\}$$を示せ。&br() 　&br() +[[デデキントの切断定理>http://www.youtube.com/watch?v=SFDanluetgs&fmt=22]]&br()以下，「ワイエルシュトラスの公理」を仮定する．$$X,Y$$を$$\mathbb{R}$$の空でない部分集合とする。$$ X\cup Y=\mathbb{R}, X\cap Y=\phi$$, $$(\forall x\in X,\forall y\in Y, x<y)$$を満たすとき「$$X$$に最大値が存在するか、または$$Y$$に最小値が存在する。」を証明せよ。&br()&br() +[[上限の$$\varepsilon-$$性質>http://www.youtube.com/watch?v=fTFd2fWpP3A&fmt=22]]&br()$$X\subset \mathbb{R}$$に対して、$$a=\sup X$$とするとき、&br()$$(\forall \varepsilon >0, \exists x\in X , a-\varepsilon<x )$$であることを示せ。&br()&br() +[[$$\varepsilon-$$性質の逆>http://www.youtube.com/watch?v=zpgj2u94rN0&fmt=22]]&br() $$X\subset \mathbb{R}$$に対して、$$a$$は$$X$$の上界であるとするとき、$$(\forall \varepsilon >0, \exists x\in X , a-\varepsilon<x \Rightarrow a=\sup X)$$であることを示せ。&br()&br() +[[アルキメデスの原理>http://www.youtube.com/watch?v=Q3Sal7U586Q&fmt=22]]&br()$$(\forall x\in{\mathbb{R}}, \, \exists n\in \mathbb{N}, \, x < n)$$を示せ。&br()&br() +[[数列についての処々の定義。>http://www.youtube.com/watch?v=y7yitKjJ4JY&fmt=22]]&br() 収束，最大，最小，上限，下限，有界など&br()&br() +[[下限の実例>http://www.youtube.com/watch?v=DeWLTJm3uJM&fmt=22]]&br()$$\inf\left\{\left.\frac{1}{n}\right | n\in\mathbb{N}\right\}=0$$を示せ。 &br()&br() +[[上に有界な単調増加列>http://www.youtube.com/watch?v=q6Bw8dx35ds&fmt=22]]&br()上に有界な単調増加列$$\{a_n\}$$が収束することを示せ。&br()&br() +[[収束する数列の不等号>http://www.youtube.com/watch?v=nMU0bsJIWms&fmt=22]]&br()収束する数列$$\{a_n\},\{b_n\}$$について、$$\forall n\in\mathbb{N}, a_n < b_n$$であるならば、$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\le \lim_{n\to\infty}b_n$$であることを示せ。&br()&br() +[[はさみうちの定理>http://www.youtube.com/watch?v=1G040EeGha0&fmt=22]]&br()収束する数列$$\{a_n\},\{b_n\}$$について、$$a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n$$とする。数列$$\{c_n\}$$が$$\forall n\in\mathbb{N}, a_n \le c_n \le b_n$$を満たすならば、$$\{c_n\}$$は収束し、かつ$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=a$$であることを示せ。&br()&br() +[[有界な無限数列（その１）>http://www.youtube.com/watch?v=-7mQia8Qneg&fmt=22]] [[（その2）>http://www.youtube.com/watch?v=AAXoVYhISF4&fmt=22]]&br()有界な無限数列$$\{a_n\}$$は収束する部分列$$\{a_{n_k}\}$$を持つことを示せ。&br()&br() +[[コーシー列は有界>http://www.youtube.com/watch?v=OQRcX7buldU&fmt=22]]&br()数列$$\{a_n\}$$がコーシー列とすると、$$\{a_n\}$$は有界であることを示せ。&br()&br() +[[収束列はコーシー列>http://www.youtube.com/watch?v=G5Tp1saTsOg&fmt=22]]&br()数列$$\{a_n\}$$が収束するならば、$$\{a_n\}$$はコーシー列である。&br()&br() +[[実数列のコーシー列は収束する>http://www.youtube.com/watch?v=YaFbsKcSNUo&fmt=22]]&br()実数列$$\{a_n\}$$がコーシー列であるならば、収束する。&br()&br() +[[上極限の実例>http://www.youtube.com/watch?v=kMGtFjohUSg&fmt=22]]&br()$$a_n=\displaystyle\frac{n+1}{n}(-1)^n $$ とするとき、$$\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}}a_n$$を求めよ。&br()&br() +[[$$\mathbb{R}^m$$の定義>http://www.youtube.com/watch?v=bPq8wm7v2Ao&fmt=22]]&br()ノルムの定義，点列の収束の定義&br()&br() +[[シュワルツの不等式，三角不等式>http://www.youtube.com/watch?v=m4NXx9jy0Bs&fmt=22]]&br()$$\forall {\bf x},\forall{\bf y}\in\mathbb{R}^m$$に対して、次の不等式を証明せよ。&br()(1) $$|(\bf{x},\bf{y})|\le||\bf{x}||\cdot ||\bf{y}||$$ （シュワルツの不等式）&br()(2) $$||\bf{x}+\bf{y}||\le||\bf{x}||+ ||\bf{y}||$$ （三角不等式）&br()&br() +[[点列の収束と成分の収束>http://www.youtube.com/watch?v=4HZsX3eQVvA&fmt=22]]&br() $$\boldsymbol{x}_n=\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2$$とする。&br() $$ \lim_{n\to\infty}\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{o} \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0 \\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0 \end{array}\right.$$&br()を示せ。&br()&br() +[[開円板の定義>http://www.youtube.com/watch?v=lUIT2JCLqyk&fmt=22]]&br()1次元の場合と高次元の場合&br()&br() +[[開円板の特徴づけ(1)>http://www.youtube.com/watch?v=jB8WbEtYBqo&fmt=22]] [[(2)>http://www.youtube.com/watch?v=A8Sg6OlSDkg&fmt=22]]&br() (1) 開円板$$B_1({\boldsymbol o})$$内の点列$$\{{\bf a}_n\}$$であって、以下の３条件を満たすものが存在する。&br() (a) $$\forall n\in\mathbb{N}, {\bf a}_n\in B_1({\bf o})$$ &br() (b) 極限$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\bf a}_n$$が存在する。&br() (c) $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\bf a}_n\not\in B_1({\bf o})$$&br()(2) 開円板の任意の点$${\bf b}\in B_r({\bf a})$$について、ある$$r'>0$$が存在して、$$B_{r'}({\bf b})\subset B_r({\bf a})$$である。&br()&br() +[[開区間は開集合>http://www.youtube.com/watch?v=bnwjf9Y00RQ&fmt=22]]&br()$$p,q\in\mathbb{R}$$, $$p<q$$とする。&br()(1) 開区間$$(p,q)$$は開集合であることを示せ。&br()(2) 閉区間$$[p,q]$$は開集合でないことを示せ。&br()&br() +[[開正方形領域は開集合>http://www.youtube.com/watch?v=Gf3RgvZPymc&fmt=22]]&br()正方形領域$$I^2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,0<x<1,0<y<1\}$$が$$\mathbb{R}^2$$の開集合であることを示せ。&br()&br() +[[閉区間は閉集合>http://www.youtube.com/watch?v=wEhpzpDQCJc&fmt=22]]&br()$$p,q\in\mathbb{R}$$, $$p<q$$とする。閉区間$$[p,q]$$は閉集合であることを示せ。&br()&br() +[[開集合の性質>http://www.youtube.com/watch?v=Gu_BcMRo8KY&fmt=22]]&br()$$A_1\subset\mathbb{R}^n$$, $$A_2\subset\mathbb{R}^n$$が開集合であるとき、$$A_1\cup A_2,A_1\cap A_2$$も開集合であることを示せ。 &br()&br() +[[開区間の無限共通部分>http://www.youtube.com/watch?v=k5hs2RrI-Pk&fmt=22]]&br()$$A_n=\left(-\displaystyle\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\left\{x\in\mathbb{R}\left|-\displaystyle\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}\right.\right\}$$とすると、$$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}$$であることを示せ。また$$\{0\}$$は開集合でないことを示せ。&br()&br() +[[内部と開集合（１）>http://www.youtube.com/watch?v=4U5YDeb91gg&fmt=22]]&br()(1) $$A\subset\mathbb{R}^m$$とする。$${\boldsymbol a}\in A, r>0$$に対して、$$B_r({\boldsymbol a})\subset A\Rightarrow B_r({\boldsymbol a})\subset \mathring{A}$$であることを示せ。&br()(2) $$\mathring{A}\subset \mathbb{R}^m$$が開集合であることを示せ。&br()&br() +[[内部と開集合（２）>http://www.youtube.com/watch?v=ImlO0OA1OC0&fmt=22]]&br()$$A\subset \mathbb{R}^m$$とし、$$\mathring{A}$$を$$A$$の内部とする。&br()(1) $$A'\subset A$$であって、$$A'$$が開集合ならば$$A'\subset \mathring{A}$$であることを示せ。&br()(2) $$A\subset \mathbb{R}^m$$が開集合ならば、$$A=\mathring{A}$$を示せ。&br()&br() +[[閉包と閉集合（１）>http://www.youtube.com/watch?v=mWQsuc8i3-0&fmt=22]]&br()$$A$$の閉包を$$\overline{A}$$とする。&br()(1) $$A\subset \overline{A}$$&br()(2) $$A\subset A'$$とするとき、$${\boldsymbol a}\in \overline{A}$$ならば、任意の$$r>0$$に対して、$$B_r({\boldsymbol a})\cap A'\neq\O$$ &br()&br() +[[閉包と閉集合（２）>http://www.youtube.com/watch?v=NyPrbw2oHs8&fmt=22]]&br()$$A$$の閉包を$$\overline{A}$$とする。&br()(1) $$A\subset A'$$かつ$$A'$$が閉集合$$\Rightarrow \overline{A}\subset A'$$&br()(2) $$A$$が閉集合$$\Rightarrow A=\overline{A}$$&br()&br() +[[有理数集合の内部と閉包>http://www.youtube.com/watch?v=oWEhnV_1mGc&fmt=22]]&br()$$\mathbb{Q}=\{$$有理数$$\}$$とすると、$$\mathring{\mathbb{Q}}=\O, \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$$である。&br()&br() +[[開区間の閉包>http://www.youtube.com/watch?v=nbRfAOpM9Po&fmt=22]]&br()開区間$$A=(p,q)$$の閉包は$$\overline{A}=[p,q]$$であることを示せ。&br()&br() +[[閉包は閉集合（１）>http://www.youtube.com/watch?v=Ye3po9_Uzws&fmt=22]]&br()$$A\subset \mathbb{R}^m$$に対して、$$\overline{A}$$は閉集合である。&br()&br() +演習３４は上と重複していますので、割愛します。&br()&br() +[[有界閉区間上の関数は上界を持つ>http://www.youtube.com/watch?v=XAkk7oDaukU&fmt=22]]&br()有界閉区間$$A\subset \mathbb{R}$$とその上の連続関数$$f:A\to \mathbb{R}$$に対して、$$f$$の像は上界を持つことを示せ。 &br()&br() +[[有界閉区間上の関数は最大値を持つ>http://www.youtube.com/watch?v=IXbWnTKKc7I&fmt=22]]&br()有界閉区間$$A\subset \mathbb{R}$$とその上の連続写像$$f:A\to \mathbb{R}$$に対して、$$f$$の像$$f(A)$$が最大値を持つことを示せ。ただし$$f(A)$$が上界を持つことは用いてよい．&br()&br() +[[開区間はコンパクトでない>http://www.youtube.com/watch?v=4Yw4T3GsF60&fmt=22]]&br()$$A\subset\mathbb{R}$$を開区間とするとき、$$A$$はコンパクトでないことを示せ。&br()&br() +[[実数の部分集合がコンパクトならば有界>http://www.youtube.com/watch?v=mLHBUyihNsk&fmt=22]]&br()$$A\subset \mathbb{R}$$がコンパクトならば、$$A$$は有界であることを示せ。&br()&br() +[[実数の部分集合がコンパクトならば閉集合>http://www.youtube.com/watch?v=DigrFo2rgN8&fmt=22]]&br()$$A\subset \mathbb{R}$$がコンパクトならば、$$A$$は閉集合であることを示せ。&br()&br() +[[有界閉区間はコンパクト（その１）>http://www.youtube.com/watch?v=vkOocPgZ7AA&fmt=22]],[[（その２）>http://www.youtube.com/watch?v=1YhvPOMjmQs&fmt=22]]&br()$$A\subset \mathbb{R}$$が有界閉区間ならば、$$A$$はコンパクトであることを示せ。&br()&br() 2011-12-13T10:22:07+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/2.html **メニュー -[[トップページ]] -[[メニュー]] ---- //**更新履歴 #recent(10) &link_editmenu(text=ここを編集) 2010-10-30T17:53:26+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/14.html - ご自由にコメント（誤り訂正）・質問をどうぞ． -- (阿原) &size(80%){2010-09-21 23:27:02} - 初めまして。始めの講義を受けてから、12まで見ました。とてもわかりやすいです！ 　 &br()トップページの各リンクについてなんですが、実はYoutubeの動画URLの末尾に「&fmt=22」を付けたリンクを開くと、720pで自動再生されます。そこで、トップページの各動画URLの末尾に「&fmt=22」を追加してもらえませんか？　　 &br()「&fmt=22」については検索すると詳しく出てきます。他にも「&fmt=18」「&fmt=37」などもあります。　 &br()お願いします。 -- (２の２) &size(80%){2010-09-24 00:26:14} - コメありがとうございます。&fmt=22をつけてみました。なるほど、うまくいくようです。ありがとうございました。 -- (阿原) &size(80%){2010-09-25 12:54:25} 2010-09-25T12:54:25+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/13.html #comment_num2(size=200,vsize=5,num=20,logpage=コメントログ) 2010-09-21T23:26:16+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/3.html **更新履歴 #recent(20) &link_editmenu2(text=ここを編集) 2010-09-12T22:36:56+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/4.html * ニュース @wikiのwikiモードでは #news(興味のある単語) と入力することで、あるキーワードに関連するニュース一覧を表示することができます 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_174_ja.html ----- たとえば、#news(wiki)と入力すると以下のように表示されます。 #news(wiki) 2010-09-12T22:36:56+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/5.html * まとめサイト作成支援ツールについて @wikiには[[まとめサイト作成を支援するツール>>http://atwiki.jp/matome/]]があります。 また、 #matome_list と入力することで、注目の掲示板が一覧表示されます。 利用例）#matome_listと入力すると下記のように表示されます #matome_list 2010-09-12T22:36:56+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/6.html * 更新履歴 @wikiのwikiモードでは #recent(数字) と入力することで、wikiのページ更新履歴を表示することができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_117_ja.html ----- たとえば、#recent(20)と入力すると以下のように表示されます。 #recent(20) 2010-09-12T22:36:56+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/7.html * アーカイブ @wikiのwikiモードでは #archive_log() と入力することで、特定のウェブページを保存しておくことができます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/25_171_ja.html ----- たとえば、#archive_log()と入力すると以下のように表示されます。 保存したいURLとサイト名を入力して"アーカイブログ"をクリックしてみよう #archive_log() 2010-09-12T22:36:56+09:00 http://www37.atwiki.jp/mathex2/pages/8.html * 動画(youtube) @wikiのwikiモードでは #video(動画のURL) と入力することで、動画を貼り付けることが出来ます。 詳しくはこちらをご覧ください。 ＝＞http://atwiki.jp/guide/17_209_ja.html また動画のURLはYoutubeのURLをご利用ください。 ＝＞http://www.youtube.com/ ----- たとえば、#video(http://youtube.com/watch?v=kTV1CcS53JQ)と入力すると以下のように表示されます。 #video(http://youtube.com/watch?v=kTV1CcS53JQ) 2010-09-12T22:36:56+09:00